Symétries cachées dans les cristaux

Marianne Quiquandon, Denis Gratias, Richard Portier

Nous nous intéressons à la notion d’ordre atomique à longue distance dans les solides. Un solide est ordonné à longue distance s’il peut être engendré par un algorithme déterministe de complexité finie à partir d’une partie finie de sa structure. Ainsi, les cristaux résultent de la copie par translation à l’identique d’un motif atomique, et les quasicristaux résultent d’une coupe irrationnelle d’un cristal d’un espace de dimension supérieure à celle de l’espace où évolue l’objet.

La définition de l’ordre étant donnée, il est possible de caractériser de nouveaux types de défauts (écarts locaux ou étendus) comme ici des défauts de Z-module de rang 5 dans l’alliage NiZr stoechiométrique : macles cohérentes sans réseau de coïncidence et dislocations partielles traces de dislocations parfaites d’un Z-module, observés en haute résolution (cliché HAADF-Gilles Patriarche).

Un autre exemple de propagation de l’ordre à longue distance est la superposition de deux ou plusieurs cristaux identiques désorientés les uns par rapport aux autres comme ici entre deux feuillets de graphène tournés l’un par rapport à l’autre (angle croissant de gauche à droite).

La notion d’ordre géométrique devient de plus en plus délicate à interpréter pour des constructions par inflation comme celles de Thue-Morse :

dont le spectre de Fourier possède une partie singulière continue. Au-delà de la complexité finie des édifices précédents, la construction par inflation du triangle de John Conway :

conduit à un édifice constitué de triangles rectangles d’un seul et unique type orientés d’une infinité de façons. La nature exacte de son spectre de Fourier (atomique, singulier continu ou absolument continu) n’est pas connue.